倍數問題分為多人相遇和多車相遇，方法是求最小公倍數，求最小公倍數可以用因數分解法或短除法兩種方法來求解。

　　因式分解法

　　如果是大數，就可以采用因式分解法，將大數分解成幾個因式的乘積，最小公倍數就為單獨的最高次連乘，相當于求兩個集合的并集。比如求的最小公倍數則為短除法。

　　如果是小數，就可以直接用短除法求最小公倍數。比如求12,28,30這三個數的最小公倍數，首先這三個數有共同的約數2，得到6,14,15， 這三個數之間沒有共同的約數，但是兩兩之間有共同的約數，將不能除的直接落下來，直到三者之間互質，最后將短除號左邊的和下面的全部做乘積，得到的結果就是這三個數的最小公倍數為425。

　　例1. 甲每隔4天進城一次，乙每隔8 天進城一次，丙每隔11天進城一次，某天三人在城里相遇，那么下次相遇至少要(    )。

　　A.60天            B.180 天           C.54 天            D.162 天

　　【思路】

　　這道題目是多人相遇，所以屬于倍數問題，可以用求最小公倍數的方法來求解。但這里需要注意的是每隔n天實際上是每n+1天，也就是求5，9，12的最小公倍數，而不是求4,8,11的最小公倍數。又由于數比較小，所以可用短除法來求最小公倍數。

　　【解析】

　　由 甲每隔4天進一次城，乙每隔8天進一次城，丙每隔11天進一次城可得甲、乙、丙的周期分別為5,9,12，這三個數的最小公倍數為180，也就是他們大的周期是180，所以下次相遇至少要180天，正確答案為B選項。

　　例2.有甲、乙、丙三輛公交車于上午8:00 同時從公交總站出發，三輛車再次回到公交總站所用的時間分別為40 分鐘、25 分鐘和50分鐘，假設這三輛公交車中途不休息，請問它們下次同時到達公交總站將會是幾點？(    ）

　　A.11點整         B.11 點20 分       C.11點40 分      D.12 點整

　　【思路】

　　這是2011年陜西省考的真題，這道題目是多車相遇，所以也屬于倍數問題，用求最小公倍數的方法來求解。甲、乙、丙三輛公交車的回到站所用的時間分別為40、25和50，他們全部相遇的時間也就是求這三個數的最小公倍數。

　　【解析】

　　由 甲、乙、丙三輛公交車的回到站所用的時間分別為40、25和50，可得甲、乙、丙三輛公交車的周期分別為40、25和50，它們的最小公倍數為200，也就是他們三個再次相遇所用的時間為200分鐘，即3小時20分鐘，所以相遇時間是11點20分，正確答案為B選項。

　　由 甲每隔4天進一次城，乙每隔8天進一次城，丙每隔11天進一次城可得甲、乙、丙的周期分別為5,9,12，這三個數的最小公倍數為180，也就是他們大的周期是180，所以下次相遇至少要180天，正確答案為B選項。

　　最小公倍數是多個數公共倍數中最小的一個，約數問題涉及到約數和倍數，最大公約數和最小公倍數。雖然經常會提及，但有很多考生對這一概念不能有準確的理解，所以我們從最基礎的開始給大家進行講解。

　　整數a除以整數b(b≠0)除得的商正好是整數而沒有余數，我們就說a能被b整除，或b能整除a。a叫b的倍數，b叫a的約數或因數。如果題目中出現了乘積，我們認為是約數問題。約數問題的解題方法是先分后湊，分是分解質約數，也就是分解成質數的約數；湊，根據題目條件湊數。

　　例1.  四個連續自然數的積為3024，它們的和為(    )。(山東2003)

　　A.26               B.52               C.30               D.28

　　【思路一】

　　題目中出現了乘積，則為約數問題，根據先分后湊的方法可以得出答案。分解質約數的時候可以采用短除法更加方便，最后湊成四個連續自然數。

　　【解析一】

　　由3024=2×2×2×2×3×3×3×7 得

　　3024=6×7×8×9

　　所以6+7+8+9=30，正確答案為C選項

　　【思路二】

　　根據乘積的尾數為4，則可推出這四個數的尾數不可能為0或5。

　　【解析二】

　　根據四個連續自然數的積為3024，可知四個數的尾數不可能為0或5，則四個連續自然數的尾數為1,2,3,4或6,7,8,9，不論哪種情況，和的尾數都為0，所以正確答案為C選項。

　　例2. 小明參加福建省2004年“奮進杯”中學數學競賽獲了獎(前10 名)。爸爸問他：“這次數學競賽你得了多少分？獲得了第幾名？”小明說：“我的數學得分是整數，分數和我得的名次與我的年齡相乘的積為2910?！睆纳厦娴膶υ捴锌梢酝瞥鲂∶鞯昧说趲酌?？(  )

　　A. 第一名           B。第二名         C。第三名           D。第四名

　　【思路】

　　題目中出現了乘積，則為約數問題，根據先分后湊的方法可以得出答案。分解質約數的時候可以采用短除法更方便，最后根據小明參加的是中學競賽，中學生的年齡一般是12-15歲這一常識來湊小明的分數，名次和年齡。

　　【解析】

　　由2910=2×3×5×97

　　得

　　第一種情況：分數 97，名次 2 ，年齡15

　　第二種情況：分數 97，名次 3 ，年齡10

　　第三種情況：分數 97，名次 5， 年齡 6

　　根據常識中學生的年齡一般是12-15歲，可排除第二種和第三種情況，那么只有第一種情況符合要求，小明的分數為97分，名次為第二名，年齡為15歲，所以正確的答案為B選項。

 

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